私学を色々転々としている現職教員です。
専任教諭も常勤講師も試験を課す私学は多くあります。ただ専任と大きく違うのは、専任だと募集される時期が極めて短いところや一括で募集されることでしょうか。常勤講師も同時期に募集することがありますが、定員を満たさないと常勤を追加募集することがあります。
試験内容は私学の特性に応じてまちまちですが、
一般的に書類審査、模擬授業、適性検査、教科試験(専門教科)、一般教養試験、面接試験が主です。
私学の規模が大きい幾つもの大学や中高を持つところだと、二次試験や三次試験を課すこともあります。
非常勤講師だと書類選考と面接試験がほとんどかと思います。場合によっては筆記試験(専門教科)を行うところもあります。
大阪や東京などの都会だと非常勤や常勤は、3年縛りというのがあって、基本的に3年までは雇うけど、それ以上は無期限雇用に転換しなきゃいけなくなるから、3年目までで契約を解除するといった使い捨てをする私学が多くあるようです。
一方公立は教員採用試験で採用されれば正規教諭として一括採用されますが、採用されなければ講師登録することで常勤や非常勤講師の連絡を入れてもらう方式が取られています。声が掛かればどちらにせよ面談がありますので、普通に手続きがいけば採用されることがありますが、何か問題が起これば採用されなくなる可能性もあります。例えば、YouTubeをやっているとか、他県で不祥事を起こしたとか、免許が無いと分かったとかで採用されなかったケースがあるようです。