共テ英語をたくさん解くことは、確実に速読力向上につながります。
共テは時間制限が厳しく、限られた時間で大量の文を処理する訓練になるのが最大のメリットです。毎回時間内に終わらせようと意識しながら解くことで、無駄な読み直しや立ち戻りを減らす習慣が身につきます。この習慣は他の長文問題を読む時にも自然と活きます。
ただ重要な点が一つあります。共テの英語は、第一志望の試験対策には完全には最適化しない可能性があります。出題形式や難易度、問われる読解の深さが異なるかもしれないからです。あなたの場合、第一志望は赤本でしっかり対策して、併願校向けに共テを活用する流れが理想的だと思います。
具体的には、赤本で第一志望の形式に慣れることを優先させつつ、隙間時間や息抜きで共テを解く感じでいいでしょう。そうすれば速読力も磨けるし、併願校の対策にもなります。共テは時間に追われる実感が強いので、追い込まれた状態で英語を読む訓練という点では、むしろ他の試験の長文対策にもいい刺激になるはずです。