スキームの射f:Y→Xに対して、層の射f^#:O_X→f_＊O_Yのkernelは必ずO_X加群の準連接層になりますか？

No.

これを見よ

https://math.stackexchange.com/questions/4616816/example-of-a-morphism-of-schemes-whose-kernel-sheaf-is-not-quasi-coherent



scheme theoritic imageの構成については、

https://stacks.math.columbia.edu/tag/01R5



quasi-coherent sheafの基本性質については

https://stacks.math.columbia.edu/tag/01LA