この写真の問題についてです。写真のラインを引いているところの、2・のあとは底変換の公式を使って底を2にそろえているんですよね？あと、底を2にそろえているのは青丸のところが底2になっているからですよね？こうゆう問題を解く時には底を小さい方に揃えるんですか？教えてほしいです。

底を2に揃えているという認識はその通りです。

ですが、「底の小さい方に揃える」というのは必ずしも当たりではありません。正しくは「計算しやすい方に揃える」です。

今回底を2に揃えたのは、もし底を4に揃えると

log_2(x-2)=log_4((x-2)^2)

log_2(x-2)+2log_4(3-x)=log_4((x-2)^2(3-x)^2)

(いずれも真数条件のもとで)

となって、底を2に揃えるのより計算しにくくなるからです。

一方、例えばlog_2(x-2)+log_4(3-x)のような場合は、底を2に揃えると

log_4(3-x)=log_2(√(3-x))

log_2(x-2)+log_4(x-3)=log_2((x-2)√(3-x))

となりますが、底を4に揃えると

log_2(x-2)=log_4((x-2)^2)

log_2(x-2)+log_4(x-3)=log_4((x-2)^2・(3-x))

(いずれも真数条件のもとで)

となって、√が出てこないぶん、底を4に揃える方がちょっとだけ扱いやすくなります。

というわけで、「底の小さい方に揃える」という覚え方をすると困ることがあります。状況を見て、楽な方に揃える戦略をとりましょう。