12月31日で退職、翌年1月10日に次の会社へ入社する場合、国民保険と国民年金の手続きは必要でしょうか？

国民年金に関しては手続き不要です。

各月の月末での状況でどの年金に加入しているか決まり、保険料を支払います。

ですからご質問者は12月は前職の厚生年金、1月は再就職先の厚生年金、となるので国民年金保険の手続きは不要です。

しかし、健康保険に関しては日々無保険状態であることは許されてません。

法律を厳格に履行すれば、1月1日から1月9日は国民健康保険加入になります。

ただ、わずか9日間なので病院等に受診しなければ実害はないので国民健康保険の手続きもしなくても問題ないです。