②③について実際に計算してみればわかりますが、「順列数」なのに整数になってないので、明らかにその計算は誤りです。
① その計算でも別にいいですが、順列数を求めるのに、1回確率を経由する必要はないような。
「♥4が少なくとも１回」
=「♥4は何回でもよい(0～3回)」 - 「♥4は0回」
=「♥4を含む12枚から3回引く順列数」- 「♥4を含まない11枚から3回引く順列数」
= 12^3 - 11^3
② 「♥3が少なくとも１回はあり、♥4がない順列数」
= 「♥3は何回でもよく(0～3回), ♥4は0回」-「♥3, ♥4ともに0回」
= 「♥3を含み♥4を含まない11枚から3回引く順列数」- 「♥3, ♥4を含まない10枚から3回引く順列数」
= 11^3 - 10^3
「12の３乗×(1-11/12の3乗)×11/12の3乗」の計算だと、♥4を含まない確率を一律 (11/12)^3 として計算していますが、
♥3が3回の場合: 全部♥3なのだから、常に♥4は含まない。確率 1
♥3が2回の場合: ♥4があるとしたら残りの1回。それは♥3ではないのだから♥3以外の11枚のうちのどれかだが、♥4でもないとすれば10枚のうちのどれかであるべきなので、確率10/11
♥3が1回の場合: ♥4があるとしたら残りの2回。2回それぞれについて上記の話になるので、確率 (10/11)^2
と、ケースによって確率が違ってくるので、上記のように計算したほうが楽です。
③「♥2が少なくとも１回はあり、♥3,♥4ともにない順列数」
= 「♥2は何回でもよく(0～3回), ♥3, ♥4は0回」-「♥2, ♥3, ♥4ともに0回」
= 「♥2を含み♥3, ♥4を含まない10枚から3回引く順列数」- 「♥2, ♥3, ♥4を含まない9枚から3回引く順列数」
= 10^3 - 9^3
