レイクでのオペレーター対応は、12月30日から1月4日まで休業となりますので、通常営業になる1月5日(月)に連絡するしかありません。
レイクでアプリから12月29日の返済日をアプリで12月31日に変更しても、これはアプリを使って「約束日を設定」した返済猶予の手続きであって、返済日自体が29日から31日に変更された訳ではありません。
従って、本来の返済日である12月29日を過ぎた場合は、返済猶予の手続きをしてもレイクでは延滞として扱いますので、アプリを確認した時に「期日を過ぎています」の表示は当然です。
12月の返済に関しては12月29日の返済期日を、アプリを使って約束日を12月31日に設定する手続きをしたことで、2日間の返済猶予期間を貰ったことになります。
あなたが設定された約束日の12月31日に12月分の返済をしたのであれば、返済はできていますので、アプリに反映されるまで時間が掛かる可能性はありますが、督促状などの心配はしなくても大丈夫です。