y=二次式 で判別式使う時は右辺を二次方程式として見てやりますが、ふたつの式からyを消去した場合左辺=0で判別式使いますよね？このyが残っている場合と、もともと=0のときって何が違うんですか？

＞y=二次式 で判別式使う時は右辺を二次方程式として見てやりますが、

これはおそらく、2次関数のグラフがx軸と交わるかどうかを知りたい時の話ですよね？
グラフがx軸と交わるのでy座標は0です。
よってy=0を代入して
0=右辺になります。
左右を入れ替えれば、=0になります

つまり全く同じなのです。