P(x)を(x+1)²で割った余りは
(x-1)(x+1)²Q(x)+R(x)
を(x+1)²で割った余りに等しいです。
1項目の(x-1)(x+1)²Q(x)は(x+1)²で割り切れるのでこの部分からの余りは0です。
よって余りが出てくるとしたらR(x)の方からしかあり得ません。
あるいは手堅く式で示すならR(x)を(x+1)²で割った商q(x)、余りr(x)とすると、
R(x)=(x+1)²q(x)+r(x)
より
P(x)=(x-1)(x+1)²Q(x)+R(x)
=(x-1)(x+1)²Q(x)+(x+1)²q(x)+r(x)
=(x+1)²{(x-1)Q(x)+q(x)}+r(x)
なので、P(x)全体を(x+1)²で割った余りもr(x)に一致する、と考えても良いです。
