問題ありません。
企業からすれば、マイナンバーは12桁の無意味な番号でしかないです。
それだけ知っても何も出来ません。
勝手に使うことは、罰則付きで固く禁じられています。
そもそも、バイトをした時点でマイナンバーの提出が必要になります。
提出は任意ですが、エントリーの場合は、しないまま放置すると、システム上、退会できないようになっているのでしょう。理由は不明です。
いずれにしても、結果的に退会時にマイナンバーを提出するという形になります。
実際には、最初にバイトで働いていたときにだすマイナンバーをいまから出す、というだけのことです。
形式的な問題です。
マイナンバーはあくまで税金の処理のために税務署が必要に応じて使います。
また、結果として自治体にも伝わり、可能性としては自治体が問い合わせてくることはありえますが、実際にはありません。
そういうほのめかしは聞き流しておけばよいです。
そもそも自治体はあなたのマインバーを最初から知っており、それをつかってあなたの情報を管理しています。
わざわざ問い合わせる必要なんかないのですよ。