AB＝5,BC＝6,CA＝4の三角形ABCがある。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。ADの長さを求めてください。

角の二等分線の定理

△ABCにおいて、

∠Aの二等分線と辺BCとの交点を、D

BC=a,CA=b,AB=c,AD=p

とすると、

S

=(1/2)xABxACxsinA

=(1/2)xcxbx2xsin(A/2)xcos(A/2)



S

=(1/2)xABxADxsin(A/2)+(1/2)xACxADxsin(A/2)

=(1/2)x(AB+AC)xADxsin(A/2)

=(1/2)x(c+b)xpxsin(A/2)



bxcxcos(A/2)=(b+c)xp

p

=bxcxcos(A/2)／(b+c) ☜



(回答)

題意より、

AD

=4x5xcos(A/2)／(4+5)

面倒そう



cos²A

=(b²+c²-a²)/(2bc)

=(4²+5²-6²)/(2x4x5)

=1/8

=2/16

cosA=√2／4

cos²(A/2)

=(cosA+1)/2

={(√2/4)+1}/2

=(4+√2)/8

=(8+2√2)/16

cos(A/2)

=√(8+2√2)／4



S

=(1/2)x5x4xsinA

=(1/2)x5x4x2xsin(A/2)xcos(A/2)



S

=(1/2)x5xpxsin(A/2)+(1/2)x4xpxsin(A/2)



5x4x2x{√(8+2√2)/4}

=(5+4)xp



p

=5x2x√{8+2√2)/9

=10√(8+2√2)／9









ごかくにんください。



A=120゜の場合ですと、

[ 計算図 ]

を用いることが

出来ます。