元旦の日に新大阪駅から小倉駅まで新幹線の自由席に午前中乗車予定なのですが、例年、元旦の日は比較的空いているものでしょうか？

そもそもその期間はのぞみに関しては全席指定なのでのぞみには座っての乗車は出来ません。
そのため、みずほ、さくらも混雑すると思うので早めに指定席を取る方が良いと思います。