与えられた偏微分方程式は、以下の形をしています：
\[
\fracpartial z}\partial x} + z \fracpartial z}\partial y} + cz = 0
\]
ここで \(c\) はゼロでない定数です。この方程式は非線形偏微分方程式です。これは、ラグランジュの方程式の一種とも言えます。
この方程式の一般解を見つけるために、ラグランジュの方法を利用します。ラグランジュの方法は、非線形一次偏微分方程式
\[
A(x,y,z) \fracpartial z}\partial x} + B(x,y,z) \fracpartial z}\partial y} = C(x,y,z)
\]
の解を見つけるための手法です。上述の方程式は、
\[
A(x,y,z) = 1, \quad B(x,y,z) = z, \quad C(x,y,z) = -cz
\]
という形になります。
ラグランジュの方法によると、解は以下の形で与えられます：
\[
\fracdx}A} = \fracdy}B} = \fracdz}C} = \fracdz}A \fracpartial z}\partial x} + B \fracpartial z}\partial y} - C}
\]
したがって、我々の問題においては、
\[
\fracdx}1} = \fracdy}z} = \fracdz}-cz} = \fracdz}1 \cdot \fracpartial z}\partial x} + z \cdot \fracpartial z}\partial y} - (-cz)}
\]
となります。ここでは最後の比を計算すると、方程式自体がゼロであるため、この比は任意の形を持つことができます。これを利用して、最初の二つの比から微分方程式を解きます。
\[
\fracdx}1} = \fracdy}z} \implies dx = \fracdy}z} \implies z \, dx = dy \implies dy - z \, dx = 0
\]
これは、\(dy - z \, dx = 0\) の形の完全微分方程式です。これを解くと、
\[
y - \int z \, dx = C_1
\]
ここで、\(C_1\) は積分定数です。次に、\(dz + cz \, dx = 0\) という方程式を考えます。
\[
\fracdz}z} = -c \, dx \implies \ln|z| = -cx + C_2
\]
ここで、\(C_2\) も積分定数です。これを指数関数を使って表すと、
\[
z = e^cx + C_2} = e^C_2} \cdot e^cx} = C_3 \cdot e^cx}
\]
ここで、\(C_3 = e^C_2}\) であるとします。これは \(z\) の形を教えてくれます。
これらの結果を利用して、方程式の一般解を表すための第二積分を試みます。第一積分は \(y - \int z \, dx = C_1\) でしたので、\(z = C_3 \cdot e^cx}\) を代入します。
\[
y - \int C_3 \cdot e^cx} \, dx = C_1
\]
これを計算すると、
\[
y - \left(-\fracC_3}c} \cdot e^cx}
ight) = C_1 \implies y + \fracC_3}c} \cdot e^cx} = C_1
\]
これは第二積分で、最終的な一般解は、第一積分と第二積分を関連付ける形で与えられます：
\[
F\left(y + \frac1}c} \int z \, dx, z \cdot e^cx}
ight) = 0
\]
ここで \(F\) は任意の二変数関数です。したがって、我々の与えられた偏微分方程式の一般解は、
\[
F\left(y + \frac1}c} \int C_3 \cdot e^cx} \, dx, C_3
ight) = 0
\]
または、
\[
F\left(y + \frac1}c} \cdot \left(-\fracC_3}c} \cdot e^cx}
ight), C_3
ight) = 0
\]
すなわち、
\[
F\left(y - \fracz}c}, z \cdot e^cx}
ight) = 0
\]
となります。これは、方程式の解全体を示す関係式です。ただし、完全解は具体的な関数 \(F\) を定めた形で表す必要があります。完全解の具体的な形式は、問題の具体的な状況や初期条件などによって異なります。そのため、上記の一般解は特定の問題に対する完全解を含んでいます。
