(1)(y-x^2、z-x^3)⊂Ker fは成り立ちます。
g(x,y,z)がKer fの元とします。
k[x,y,z]=k[x,y][z]
(k[x,y]の元を係数とするz変数の一変数多項式環)
とみなして
z-x^3で割ると、
g(x,y,z)=h(x,y,z)(z-x^3)+I(x,y)
となる2変数多項式I(x,y)が存在します。
同様に、k[x,y]=k[x][y]とみなして、
I(x,y)=J(x)(y-x^2)+r(x)
となる1変数多項式r(x)が存在します。
g(x,y,z)
=h(x,y,z)(z-x^3)
+J(x)(y-x^2)+r(x)
≡r(x) mod(y-x^2、z-x^3)
です。
もしr(x)が1次以上の多項式なら
f(g)=f(r)=r(t)≠0
となる事から、r(x)=0とわかります。
(2)Ker f≠k[x,y,z]は明らかです。
2つの多項式g(x,y,z)、h(x,y,z)でf(gh)=f(g)f(h)=0とします。
k[t]は整域より、
f(g)=0またはf(h)=0
です。
