(1)
組み立てた立体を考え、Dから△ABCに垂線を下ろすと、△DEC≡△DEBより、EC=EBなので、EはAH上にあります。
平面DAHで切った断面図において、AE=xとすると
DE²=DA²-AE²=4²-x²―①
DE²=DH²-EH²=5²-(5-x)²―②
①,②より、4²-x²=5²-(5-x)²
よって、x=8/5
①に代入してDEを求めると、DE=(4√21)/5
V=1/3×△ABC×DEより、
V=1/3×(4•5•1/2)×(4√21)/5
=(8√21)/3
(2)
内接球の中心をIとすると、Iから四面体の各面へ下ろす垂線の長さはどれもrになります。よって、四面体を4つの三角錐に分けると次のように考えていけます。
V=三角錐IABC+三角錐IABD+三角錐IBCD+三角錐ICAD
V=(1/3•△ABC•r)+(1/3•△ABD•r)+(1/3•△BCD•r)+(1/3•△CAD•r)
V=1/3•r•(△ABC+△ABD+△BCD+△CAD)
V=1/3•r•(4△ABC)
よって、(1)の結果を代入し、
(8√21)/3=1/3•r•(4×10)
r=(√21)/5
