この問題で関数が極値をもたない条件についてなんですが、f’(x)=0を満たす実数xが存在しない、あるいは常にf’(x)が０以上またはf’(x)が0以下が成り立つこととあったのですが、f’(x)=0を満たす実数xが存在するというのは必要条件だからこれは調べなくてもいいんですか？解答ではf’(x)=0は調べてなかったので疑問に思いました。

まず、確認として

関数f（x）が極値を持つ条件

⇔

「f'（x）=0を満たす実数xが存在し、

かつ、

そのf'（x）=0を満たす実数xの前後で符号変化が起こること」

です。



なので、

命題の否定の考え方からみても、



極値を持たない条件

⇔

「f'（x）=0を満たす実数xが存在しない、

または

そのf'（x）=0を満たす実数xの前後で符号変化が起こらないこと。

（つまり、

f'（x）≧0（f（x）は単調増加）または

f'（x）≦0（f（x）は単調減少））」

になります。



なので結論としては、

参考書の解説がf’(x)=0を調べていなかったのは、



「f'（x）=0を満たす実数xが存在しない」という極値を持たない条件を、既に前提の元で考えて議論を進めていたからであろうと思いますが、個人的にはf'（x）=0を調べて、

これを満たす実数xが存在しない事をしっかり

明記した方が良いとは思います。