問題の内容（整理）
空間内の
• 直線：ℓ, m, n
• 平面：α, β, γ
について、次の①〜⑤の命題のうち いつも正しいものを選ぶ。
①
「3つの点を含む平面はただ1つである。」
誤り。
• 3点が
• 一直線上にない場合 → 平面はただ1つ
• 一直線上にある場合 → 平面は無数に存在
条件が足りないため、「いつも」は成り立たない。
②
「ℓ ⟂ α かつ ℓ ⟂ β ならば、α ∥ β である。」
正しい。
• 1本の直線 ℓ が
• 平面 α に垂直
• 平面 β にも垂直
このとき、α と β は同じ方向の法線をもつため、互いに平行になる。
空間図形の基本的な定理。
③
「ℓ, m が α に含まれ、ℓ ⟂ n かつ m ⟂ n ならば、n ⟂ α である。」
正しい。
• ℓ, m は平面 α 上の直線
• その両方に直線 n が垂直
平面内の交わる2直線に垂直な直線は、その平面に垂直である。
よって n ⟂ α。
④
「α, β の交線を ℓ とし、ℓ ⟂ r ならば、α ⟂ r である。」
誤り。
• 直線 r が交線 ℓ に垂直であっても
• 平面 α 全体に垂直とは限らない
平面に垂直と言うためには、平面内の2直線に垂直である必要がある。
⑤
「四角錐において、頂点を共有しない2つの線分はすべてねじれの位置にある。」
誤り。
• 底面上の2辺などは同一平面上にあり、ねじれの位置ではない場合がある。
結論（いつも正しいもの）
② と ③
覚えておくと重要なポイント
• 直線 ⟂ 平面
→ 平面内の2直線に垂直かどうか
• 平面 ∥ 平面
→ 共通に垂直な直線があるか
• ねじれの位置
→ 交わらない、かつ同一平面上にない
