mod3で考えたときに0になるというのは3で割り切れるという事です。
また、n≡0,1,2というのは、nを3で割った余りで分類したものです。
n≡0,1,2のときでそれぞれ0になる。というのは、
nを3で割った余りが0のとき、n^3+2nは3で割り切れる。
nを3で割った余りが1のとき、n^3+2nは3で割り切れる。
nを3で割った余りが2のとき、n^3+2nは3で割り切れる。
と言っているのと同じであり、整数nを3で割った余りは0,1,2のどれかしかありませんから、これで全ての整数について考えていることになります。
n=3k, 3k+1, 3k+2で考える方法と同じことをやっているという事ですね。
ちなみに、別解として
n³+2n
= n³-n+3n
= (n²-1)n+3n
= (n-1)n(n+1)+3n
と変形すると、
(n-1)n(n+1)は連続する3つの整数なので3の倍数。
3nは3の倍数。
よってこれらの和であるn³+2nも3の倍数と言えます。
