サーボ違いかな?
こういうサーボ(FA用サーボ)が望ましいです。
https://www.e-mechatronics.com/product/servo/
ラジコン用サーボだときついと思われます。
サーボドライバもこういうのが望ましいです。
https://www.e-mechatronics.com/product/servo/amp_lineup/index.html
あるいは取り出す機構の所はサーボは使わずにステッピングモータで実現します。
バドミントンの羽根を本格的に打ち出すためには
その画像の手前方向に謎の線が延びているようにコンセントから
電力を供給する必要があるくらいの仕事が必要です。
FA用のサーボを駆動するにはできるのであれば自分でマイコンを使ってコントロールしてもいいんですが、普通は電子工作せずに用意された出来合いのコントローラを使います。
位置決めコントローラ・モーションコントローラ等
指令パルスの吐き出し処理とか自分じゃ作れんやろ・・・