動画の再生ページで「共有」ボタンからURLをコピーしての貼り付け、あるいは「共有」ボタンから直接リットリンクに飛んでの貼り付けなら、その動画が伝わるだけです。
あなたの視聴履歴や今見てるものが伝わること、知られることはありません。
ブラウザの場合で気を付けるとすれば、アドレスバーに表示されてるURLを直接コピーすることです。これはやめた方がいいです。稀に伝えたくない情報を伝えてしまうことがあります。再生リストの再生時です。例えば、自身のお気に入りをまとめた再生リストの再生中に、とある動画を人に知らせたくなり、アドレスバーに表示されたURLをコピーして知らせると
YouTube.com/watch?v=XXXXXXXXXXX\u0026amp;list=PLYYYYYYYYYYYYYYYY">https://m.YouTube.com/watch?v=XXXXXXXXXXX\u0026amp;list=PLYYYYYYYYYYYYYYYY
こんなURLになり、これだと再生リストまで相手に知られ、見られる恐れが出てきます。