実数から複素数を構成することが可能だから、難しい質問だと思います。
例えばf:C→M2(R)、
a+bi→
a,-b
b,a
と複素数を2次正方行列に対応させれば単射準同型であり、演算の性質を保つため、演算と等号を用いて表される問題なら
Cで成り立つ⇔f(C)で成り立つ
となります。
また、一変数多項式環R[x]を用いた剰余環R[x]/(x^2+1)はCと同型だから同様に、演算と等号を用いて表される問題なら
Cで成り立つ⇔R[x]/(x^2+1)で成り立つ
となります。
質問に答えるためには、演算と等号を用いて表される問題以外を探すことになりそうです。
