DNSのみが「×」で、他の端末はWi-Fiでインターネットに接続できている状況であれば、まず テレビ側のIP取得方法が「DHCP(自動取得)」になっているか を確認してください。
他の機器が問題なくつながっている場合、通常はDHCPにしておけば自動的に接続されます。
それでも改善しない場合は、テレビのネットワーク設定を「手動」に切り替え、以下のように設定してみてください。
IPアドレス:ご自宅のIPアドレス帯の範囲で指定
(例:192.168.11.0/24 なら 192.168.11.2 ~ 192.168.11.254 など)
サブネットマスク:255.255.255.0
デフォルトゲートウェイ:ご自宅のGW(例:192.168.11.1)
DNS:8.8.8.8
また、一度 テレビの電源を切り、コンセントを抜いて数分待ってから再度電源を入れて 再接続を試してみてください。
それでも有線LANがつながらない場合は、上記の手動設定をお試しください。