iphoneはホームボタンのあるモデルなら下から上にスワイプするとコントロールセンター（飛行機マークの機内モードやライトのアイコンが並んでいる画面が出てくる）の中の二重丸◉っぽいマークが画面録画ボタンなのでそれを押して録画開始したらYouTubeを再生すると画面ごと録画されます。完了したらもう一度二重丸アイコンを押せば録画終了します。（写真などが保存されるアプリに保存されます。再生時はデフォルトでミュートになっているのでミュートボタンを押してミュート解除して再生してください）
ホームボタンがないモデルのiphoneは右上隅から下にスワイプするとコントロールセンターが出ます。
写真などと同じくストレージ容量を使うので録画止め忘れの為タイマーなどをかけておいた方がいいです。
ipadは自分は使ったことはないですが、ipad 画面収録などで検索すると同じくコントロールセンターから録画出来るらしいので恐らくipadでもできると思います。
ただ頻繁に録画するなら面倒だと思うので、課金できるなら他の回答者さんの回答の通りYouTubeプレミアムに課金してYouTubeアプリでてきればwifi環境などでオフライン保存した方が楽だと思います。
