④は（x1,y1）から引ける2本の接線をまとめて表した「二接線の合成方程式」です。
理由はこうです。②は（x1,y1）を通る任意の直線を方向比（l,m）で表しています。これを①に代入して得た③が重解をもつ（判別式0）という条件は、「その直線が曲線に1点で接する（交点が重なる）」ことと同値なので、判別式0で（l,m）のうち接線になる方向だけが選別されます。次に、その接線上の任意の点（x,y）は②を満たすので、判別式0の式に②の関係を使って（l,m）を消去すると、「接線上の点（x,y）が必ず満たす条件」が残ります。それが④です。したがって④を満たす点全体は、ちょうど2本の接線の上に並び、④が接線（2本まとめて）の方程式だと言えます。
因数分解できるかについては、（x1,y1）が曲線の外にあるときは実数の接線が2本あるので、④は1次式の積（2本の直線の積）に因数分解できます。曲線上なら同じ接線が重なって平方になり、曲線の内側なら実数の接線がないので実数係数では分解できません。
答案にどこまで書くかは問題や試験次第ですが、通常は「判別式0より接線条件。②で（l,m）を消去して得た④は二接線の合成方程式」と一言添えれば十分なことが多いです。
