バイトの口座親に全て握られてるので自分一人で口座開設をしてそっちにバイトの口座を移動したいのですが、どこの銀行で行えば良いでしょうか？できればその場で完結させて郵送で何かが来るなどは親にバレるので嫌です。

どこの銀行でも「窓口」で口座を作れば「紙の通帳」ができます。

その場合「キャッシュカードの作成は任意」ですから家には送付物はなく、家族に知られることもありません。

ただし、バイト代を引出すには窓口にいく必要があります。

なお、キャッシュカードを申込んだ場合、郵便局留は絶対にできません。

キャッシュカードは「転送不要・簡易書留郵便」で発送されますので届出住所に送付されます。

あなた以外の家族が在宅であれば受取ることができますので親にバレる可能性があります。