重要例題 114 接線に関する軌跡放物線 y＝x²上の異なる2点P（ｐ、p²）、Q（ｑ、ｑ²）における接線をそれぞれℓ₁、ℓ₂とし、その交点をRとする。ℓ₁とℓ₂が直交するように2点P、Qが動くとき、点Rの軌跡を求めよ。この問題で、まず、点P、Qの接線の方程式をそれぞれ求めます。そのあと点Rは先ほど求めた接線の方程式の交点だから、イコールの式を作ってxを求めます。で、接線が直交するから、傾きをそれぞれかけると－1になるからそれを生かしてy（4分の1）を求めるまでは分かります。そのあと、yが4分の1であることが成り立つときｐ、ｑを2回とする2次方程式を作って、Ｄを使うっていうのがよく分かりません。数弱なので、分かりやすく説明していただけると助かります。

ℓ₁がy=2px-p^2、ℓ₂がy=2qx-q^2であることから、pq=-1/4を使って

p,qを消去するとy=-1/4となった。この時点でわかったことは、Rが

直線y=-1/4上にあること。点Rの軌跡を求めるにはこれだけでは駄目です。

直線y=-1/4上にあることは間違いないが、その直線全部なのか一部なのか

がわかってない。そこをはっきりさせないといけません。



そこでy=-1/4上の点(x,-1/4)に対して、ℓ₁、ℓ₂が条件を満たすような

p,qが存在するかかどうかを調べないといけません。p,qを2解とする2次

方程式を作ってもいいですが、そうしなくてもいいです。



-1/4=2px-p^2、-1/4=2qx-q^2、pq=-1/4を満たす実数p,qが存在

するかどうかを調べればいい。p^2-2xp-1/4=0の判別式Dは

D=4x^2+1\u0026gt;0だから実数解pを持つ。pは0ではないからそのpに対して

pq=-1/4を満たす実数qがある。∴求める軌跡は直線y=-1/4全体である。