ワンストップ完了の連絡(メール)が届く自治体とそうではない自治体があります。
また、Amazonは自治体側から上手くメールを送れない(Amazon側の設定で、メールアドレスが暗号化?されており、きちんと届かない)仕様なので、自治体に連絡されることをおすすめします。
なお、多くの自治体は、市町村公式のホームページにワンストップ特例申請をオンラインで促しており、そこからオンライン申請すれば、申請状況がわかる場合もあります。
オンライン申請は、マイナンバーカードとサイトの注文番号を入力すれば、できたかと思いますので、間に合わなさそうであれば、こちらの利用もご検討されたらと思います。