結論としては、「多項ロジスティック回帰（多項ロジットモデル）」という手法を使うのが典型的です。これは、目的変数が「どの政党が1位か」のように、3カテゴリ以上の名義尺度をとる場合に、それらをまとめて一度に扱うための回帰モデルです。
考え方としては、ある政党を基準カテゴリに固定し、「他の政党が1位になる確率の対数オッズ」を人口密度や平均所得などの説明変数で説明する形になります。式としては政党ごとに係数は複数本出ますが、計算としては一本のモデルの中で同時に推定されるので、「各政党ごとに別々にダミーを目的変数にして回帰をかける」のとは異なり、確率の総和が1になるように整合的に扱えます。
もし目的変数に順序がある場合は「順序ロジット回帰」、連続・カテゴリ混合の説明変数を含めた分類問題として柔軟に扱いたい場合は、決定木やランダムフォレストなどの機械学習系の分類手法を用いることもありますが、質問内容からするとまずは多項ロジスティック回帰を調べて使ってみるのがよいと思います。
