x^2+px+q=0 (1)
x^2+qx+p=0 (2)
n=3のとき、この問題の解は
(i)
(1),(2)が各々2個の異なる実解をもち,そのうちの一個が共通という場合
(ii）
(1)または(2)が異なる２実解、他が１つの重解を持つ場合
が対象です。
(i)
(1),(2)が各々2個の異なる実解をもち,そのうちの一個の共通解をyとすると
y^2+py+q=0 (1)'
y^2+qy+p=0 (2)'
(1)'-(2)':
(p-q)y+q-p=0
(p-q)(ｙ-1)=0
p=qの場合(1)’,(2)’は一致し、n=3になることはないので
p≠ｑとし、
y=1
この時(1)',(2)'より
1+p+q=0 (3)
(2)p＝-6のとき(3)よりｑ=-ｐ-1＝5
(1) : x^2+px+q=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0
x=1,5
(2) : x^2+qx+p=x^2+5x-6=(x-1)(x+6)=0
x=1, -6
(ii)
(2) : D=q^2-4p=q^2+24\u0026gt;0
よって(2)は必ず異なる２実解を有します。従ってn=3になるためには(1)が重解を持つことが必要です。
(1) : D=p^2-4q=36-4q=0 : q=9
(1) : x^2-6x+9=(x-3)^2=0 : ｘ＝3
q=5,9 (ウ、エ）
