「取ってくれ」という言葉について質問です。これに含まれる「て」は接続助詞（らしい）ので、活用しないはずです。なのに「取っ」の活用型は未然形なのはなんでですか？

接続助詞は活用しませんが、動詞は活用します。
接続助詞は活用しないというのは助詞自体が活用しないという意味でありその前に付く動詞が活用しないということではありません。
接続助詞が活用しないのに動詞が活用するのは普通のことなので、なんでと理由を聞かれても特に理由はありません。
接続助詞は終止形に接続するものも連体形に接続するものもあります。
「て」以外にも連用形に接続するものもあります。