身内に喘息の者がいますが、基本的には乾咳が多いです。
痰の絡まない咳ですね。痰が絡んでるときは風邪っぽい時や花粉の時期などウイルスを含む異物がある時が多いです。
問題は2にあるように、それが喘息のみの咳なのか風邪なのか分からないことですよね。
気持ちはわかりますが証明は無理だと思います。たとえその人がマスクをしていてもしていなくても風邪はうつるときはうつるし、マスクをしている人からでもうつるし、どこでうつるか分からないのが風邪なので、貴方が風邪をひいてもそれが=その人のせい、とするのは無理だと思います。これは喘息の人だろうとそうでない人だろうと関係なく証明は難しいです。咳は出なくても風邪ひいてる人もいますし。
喘息の完治も難しいです。遺伝性もありますし病気ではありますが完治が困難な慢性疾患というのが一般的です。
ただ症状を抑えるための継続治療や環境の改善などで、発作を起こらないよう気を付けることを出来ます。とはいえその治療というのも継続治療なので手術すれば治るとかそういうものではないです。もしその方が通院すらせず吸入器すらもらってないなら喘息なのかも疑わしいですけどそれを他人にはわざわざ言わないと思います。
特に大人の喘息発作は重く、死に至る可能性もある病気です。上司がみんなに伝えてるくらいなら通院はしてるんじゃないですかね。
もしマジで通院すらしてないなら攻撃的な感じでどうにかしようとしないで心配する体で医療機関に相談するよう上司に働きかけたら良いと思います。
喘息は喉の問題ではなく気管支の問題なので、マスクをするとかえって酸素の取り込みがしにくくなったりマスク繊維などで悪化することもあります。風邪を引いていたらなおさら息苦しいかもしれません。
うちの叔父は重い喘息で2回ほど呼吸困難になって死にかけてるので大人になっても喘息の人は本当に危険なんです。
なので、本来なら周りが気になるくらいの咳をしている喘息持ちの方が風邪を引いたならそもそも出勤させずに休ませてあげるという会社の方針があったほうがいいと思います。