１０秒ほど電源が入ってランプが点灯し、その後切れてしまうということは少なくとも電源回路やUSBインターフェイス回路は正常に動作しています。
そうなると、症状から推測できるのはHDDユニットそのものが破損していることとなりますのでかなり致命的な状態です。
HDD破損の程度がまだ浅い状態であればＰＣになれたかたは市販ソフトなどを活用して復元を試みることもできます。しかしすでに応答しなくなったHDDに対しては復元ソフトも無力であることが多く、さらには通電を続けることで状態を悪化させ続ける要因となる場合もあるため、できるだけパソコンへの接続は最小限にとどめるなど細心の注意が必要です。
操作などに不安な点があるようであれば以下のような個人向け価格の救出業者さんに相談するという手もありますのでご参考までに。
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