年明けに寒中ハガキを私製ハガキで出す場合、慶弔用切手の方がいいのですか？ それとも一般用の切手でいいのですか？よろしくお願いします。

寒中見舞いには不向きです。
そもそも、本来の寒中見舞いは慶弔をお伝えする書状ではなく、冬の最も寒さ厳しい時期に「厳しい寒さが続きますが、お変わりないですか」と相手を気遣う書状です。
よって、寒中見舞いに慶弔切手はマナー違反ゆえ、普通切手をお使いください。