★紙の乗車券に「東京都区内~○○」とある場合
水道橋駅が東京都区内の駅ですから、紙きっぷを使ってください。
東京23区内のどのJR駅からでも使えるという意味ですから、モバイルSuicaの出番はありません。
★紙の乗車券に「東京山手線内~○○」とある場合
水道橋駅が東京山手線内の駅ですから、紙きっぷを使ってください。
山手線とその内側にあるJR駅ならどの駅からでも使えるという意味ですから、モバイルSuicaの出番はありません。
なお、正しいきっぷの買い方ですが、JR在来線と新幹線に乗る場合、乗車券は、区切らず通しで買います。新幹線もJR線の一種にすぎず、乗車券はあくまでJRの乗車券だからです。