あなたの考え方は
[1]n=1,2の時OK
[2]n=k-1,k(k≧2)の時OK⇒n=k+1の時OK
としています。
この第二段階は
k=2のとき、n=1,2の時OK⇒n=3の時OK
k=3のとき、n=2,3の時OK⇒n=4の時OK
k=4のとき、n=3,4の時OK⇒n=5の時OK
……
となっており、ちゃんとすべての自然数nに関する証明になっています。
[2]n=k,k+1(k≧1)の時OK⇒n=k+2の時OK
とするのとまったく同じことです。
つまりあなたの考えかたで大丈夫です。
ちなみに問題の命題はn=0の時にはなりたちません。(反例x=0またはy=0)
だからn=0の時も成り立つから大丈夫というのは誤解です。
あなたの証明法はkの条件をk≧2としているところがポイントで、ここを何も考えずにいつものようにk≧1としていると、つまり
[2]n=k-1,k(k≧1)の時OK⇒n=k+1の時OK
としていると、
k=1のときにn=0でも成り立つと主張していることになり、n=0でも成り立つのなら、x=0やy=0のとき含まれないから、x=0またはy=0の場合の議論がないとなり、間違いとなります。
