求めるGCDをdとすると、
3+4√-1 =dα, 3-√-1 =dβ
(α,β∈ℤ [√-1], 互いに素)
とおけます。
ここで、上2式について両辺のノルム
(N(a+b√-1)≔a²+b²)
をとると
25=N(d)N(α), 10=N(d)N(β)
よりN(d)は25と10を割り切る非負整数なので
N(d)=1 or 5
しかあり得ません。
N(d)=5のとき
N(α)=5, N(β)=2
となりますが、ℤ[i]の元でノルムが5or2となるものは存在しません。
(∵a²+b²=5or2 となるa,b∈ℤは存在しない)
よってN(d)=1に限られ、
d=±1, ±√-1
となります。
すなわち最大公約元は単元のみなので、2数は互いに素です。
