I’m on a budget. Could you give me a good deal? 「予算が限られているので、いい値段にしてもらえませんか？」この例文にあるon a budgetのonは話者と予算が切っても切れない関係にある事を意味してますか？そうなるとonの後が人になると、その人と強いパイプで結ばれている事を意味しますか？

「budget」の語源はラテン語の「革袋」という言葉です。

「on」という単語は「接触」というイメージで捉えるのがわかりやすい単語です。



「on a budget」は「袋（＝持っているお金）の制約のなかにいる」というイメージで捉えるといいと思います。

「切っても切れない関係」というより、「その制約に縛られている」というニュアンスが近いです。



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onの後が人になると、「強いパイプ」という意味にはならないと思います。

・I'm on him「彼を追跡中／監視中だ」

・The drinks are on me「おごるよ」

など、違う意味になると思います。