乗り換え時間が2分しかないのですが、こういう場合ってグリーン券は車内料金で買わないとダメですか？

現在は車内料金は廃止され、Suicaグリーン券の料金と切符のグリーン券の料金に分かれ、車内精算時は後者になります。対面乗換ではありますが、ホーム上の券売機は難しいかも。

最初の方に補足しますが、館山駅は有人のみどりの窓口は廃止され、代替で話せる券売機を設置、8〜20時のオペレーター対応時間帯なら購入可能です。