三角比の値の定め方については、次の通りです。
(1)
三角比を最初に学ぶときは直角三角形を利用します。
直角三角形を利用した場合、角θの範囲は 0°\u0026lt;θ\u0026lt;90° に限定されます。
次の式により、三角比の値を定めます。
sinθ=高さ/斜辺
cosθ=底辺/斜辺
tanθ=高さ/底辺
最近では直角三角形の各辺の呼び名を変えて次のように表します。
sinθ=対辺/斜辺
cosθ=隣辺/斜辺
tanθ=対辺/隣辺
です。
(2)
木の高さを求めるくらいなら鋭角の三角比さえ知っていれば十分なのですが、三角形の性質について調べようとすると、180°までの三角比があったほうが便利です。そこで、円を使って三角比を決め直すことにします。
中心が原点で半径がrの円を書きます。この円上の点A(r, 0)を出発して、反時計回りに角θだけ回転して到着した点をP(x, y)とします。このとき、
sinθ=(点Pのy座標)/(半径)=y/r
cosθ=(点Pのx座標)/(半径)=x/r
tanθ=(点Pのy座標)/(点Pのx座標)=y/x
であると決めます。
この決め方の良いところは、0°≦θ≦180°の範囲の角θに対して三角比の値を決めることができることと、0°\u0026lt;θ\u0026lt;90°の範囲の角θについては、三角比の値が直角三角形を使って決めたときと同じになる、ということです。これは非常に重要なことです。このことを、三角比の拡張といいます。
この決め方で用いているのは、(半径)、(点Pのx座標)、(点Pのy座標)だけだということも重要です。\u0026lt;\u0026lt;直角三角形は必要ありません\u0026gt;\u0026gt;。
なお、この決め方を説明する図には、通常、点Pからｘ軸とy軸に点線が引かれていますが、これは点Pの座標を使って三角比の値を決めるということを説明するためのものです。\u0026lt;\u0026lt;直角三角形を作るのが目的ではありません。直角三角形はたまたまできただけです。\u0026gt;\u0026gt;
三角比の拡張により、sin0°=0 や sin90°=1 も自然に決まるようになります。直角三角形のときは、θ=0° や θ=90° については直角三角形は描けなかったので、sin0°=0, sin90°=1 は特別扱いになっていましたが、円を使うことで他の角と同じように値を決めることができるようになったのです。
※例えば、点A(r, 0)を出発して反時計回りに90°回転すると点P(0, r)に到着します。したがって sin90°=(Pのy座標)/(半径r)=r/r=1 となります。
(3)
原点を中心とする円を使うことで 0°≦θ≦180° の範囲の角までカバーすることができるようになりました。これで一応十分なのですが、三角比の値を決めるときに、半径とy座標のように２つの値が必要になるのは不便といえば不便です。１つの値で三角比の値を決めることができると便利なのですが、それは実際に可能です。円の半径rを１にすればよいのです。
三角比の決め方は(2)のときと同じです。ただし、円の半径を１にしておきます。原点Oが中心で半径が１の円です。単位円という名前がついてます。このとき
sinθ=(点Pのy座標)/(半径)=y/1=y
cosθ=(点Pのx座標)/(半径)=x/1=x
tanθ=(点Pのy座標)/(点Pのx座標)=y/x=(直線OPの傾き)
となります。
大切なところだけを書くと
sinθ=(点Pのy座標)=y
cosθ=(点Pのx座標)=x
tanθ=(点Pのy座標)/(点Pのx座標)=y/x=(直線OPの傾き)
となります。
※例えば、点A(1, 0)を出発して反時計回りに90°回転すると点P(0, 1)に到着します。したがって、sin90°=(Pのy座標)=1 となります。
このようにして、直角三角形から出発した三角比は、舞台を円に移すことによって角度の範囲を広げ、さらに単位円を利用することで２つの値の比であったものが１つの値そのものという新しい姿を現し、さらに様々な図形の解明に役立つようになっていくのです。その先には三角関数という世界も広がっています。
