問題文がわからないので、何のためにシャッフルしているのか、何回シャッフルするのかがわからないのですが、たぶん「初めて[1234]の順になるまでのシャッフルの平均回数」ということだと思います。
理系の人なら一般的な場合を調べたがるので、以下のようにすればよいのですが、わかりにくければ p=1/2（コインを表が出るまで投げるときの平均回数）や、p=1/4!（本問のケース、シャッフルして [1234]になる確率は 1/4!）を代入して考えてください。
反復試行において、事象A（確率 pで起こる）が初めて起こるまでの平均回数は 1/p
※コインのケースなら平均2回、本問のケースなら平均4!回。直感的に理解しやすい回数だと思うので、覚えておくとよいでしょう。
(証明)
Aの余事象の確率を qとすれば、p+q=1
n回目に初めてAが起こる確率：qⁿ⁻¹･p
よって、平均回数は
Σ[n=1→∞]n･qⁿ⁻¹･p
ここで、第n項までの部分和を Sₙとすれば
Sₙ=1･q⁰･p+2･q¹･p+…+n･qⁿ⁻¹･p … ①
（よくある等差数列と等比数列の和の形）
qSₙ=1･q¹･p+2･q²･p+…+n･qⁿ･p … ②
①-②より
(1-q)Sₙ=p(q⁰+q¹+…+qⁿ⁻¹)-n･qⁿ･p
pSₙ=p(1-qⁿ)/(1-q)-n･qⁿ･p
∴ Sₙ=(1-qⁿ)/p-n･qⁿ
したがって
Σ[n=1→∞]n･qⁿ⁻¹･p=Σ[n=1→∞]Sₙ=1/p
(証明終)
