同じような状況で、夜間にコンビニでバイトしていたママさんはいました。
保育園は無職でも「求職中」という事由で申請は可能です。でも点数低くなるので激戦区なら求職中での入園は厳しいです。
バイト決まっても、子供を預ける場所が決まってなければバイトはできないですね。
フルタイムの育休復帰の人の方が点数高いので、バイト決まって急いで申請しても、やはり入園は厳しいでしょう。
お子さんに何かしらの診断がついているなら、保育園は障害児枠がある自治体もあります。
お住まいの自治体の役所に問い合わせてみてください。
個人的には、幼稚園も親が付き添わないといけない状態のお子さんであれば療育園を考えるが一番いいと思います。
なかなか定員が空かないところが多いと思いますが、療育園なら子供が園に行っている間は働けますし、療育に通う必要もないです。