はい、含まれている倍音がの構成の違いによって音色に違いもありますし、音程の高さが違うように感じるかもしれません。
金属のようなピアノ線のアタック音については、打たれる弦から発する倍音も含まれていることもありますし、他の要素としての打撃音も含まれているでしょう。それが人間の耳に慣れ親しんでいるピアノらしい音として認識されているとは思いますが、より耳の良い人には気になるかもしれません。その他にも耳を済ますと色んな楽音以外の音がピアノの演奏音には含まれています。最近の電子ピアノでは、それらも再現して生ピアノらしい音にしているようです。
楽音に含まれている最低振動数を基音として、それによって音程を認識するのはご存知かと思います。その基音に対して、低次の整数倍の振動数の倍音が強く多く長く含まれている音は深くて落ち着いた印象の音色に聞こえます。それらに対して高次の倍音成分が強くなると明るい音になります。そして、基音と整数倍ではない音が含まれることもあり、それは弦長に対して太く、そして硬い材質の弦ほど傾向が強くなります。それがご質問のようなことになっているかと考えられます。
リンクしたのはiOS用アプリですが、そのスペクトラムグラフ機能で音を目でも分析できるます。
無料なのに機能充実すぎる！アナライザーアプリ「Sonic Tools SVM」を使ってみました！
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以下、余談です。ピアノで使用されいるミュージックワイヤーは90Kg程の張力も掛かっていて（二百数十本ある弦の総張力は約20トン）、ギターで使用している弦より硬く、そして低音には、そのワイヤーに銅線を巻き付けていますので、倍音が整数倍ではなくなり、端数が付くことでピアノらしい音色の倍音を講師しています。オクターブをウナリ無く合わせるというのは、上の音を下の音に含まれる二倍音の振動数にピッタリ同じにすることになりますが、その二倍音が基音の2倍よりも多い振動数になるので、上の音の基音の振動数が下の音の基音の振動数より高くなります。それをinharmonicityと言います。高音はより高く、低音はより低くなります。最低最高両端では、inharmonicityを無視した音程と比べて、１/4音程も違いがあります。その数値は機種による弦設計や調律の好みでも差があります。
