この問題を解いて欲しいです。解説をみたらfxをkで割ったときの余りがx^2-2xらしいのですがどうやったらでるのかわかりません。因数定理を使っても答えが出てきませんでした

(x-1)^2 で割ると -1 余る、とのことですから、

f(x) = (x-1)^2 P(x) - 1 と表せます。



(x+1) Q(x) + a は、a を調整することでどんな整式でも表せるから、

P(x) と表す代わりに (x+1) Q(x) + a と表すことにすると、

f(x) = (x-1)^2 ((x+1) Q(x) + a) - 1 。



これを x+1 で割ると 3 余る、とのことですから、

● f(-1) = 3

⇔ (-1-1)^2 (0 Q(x) + a) - 1 = 3

⇔ 4 a = 4

⇔ a = 1 。



よって、

f(x)

= (x-1)^2 ((x+1) Q(x) + 1) - 1

= (x-1)^2 (x+1) Q(x) + (x-1)^2 - 1

= (x-1)^2 (x+1) Q(x) + x^2 - 2x 。