去年、酒気帯び運転（自転車）で罰金を払いました。その場合、自転車の保険には入れないのでしょうか？

自転車の保険には入れます。

酒気帯びで事故ったら相手被害者への賠償金は出てきますが、自分加害者の賠償金はないかもしれません。