マイナンバーカードを先に受け取り、新しいマイナンバーカードを持って更新手続きに行ってください。
マイナ免許証には問題なくできます。
現在のマイナンバーカードでマイナ免許証にしても、新しいマイナンバーカードへは免許情報が引き継がれず、もう一度、マイナ免許証にする手続きに行かなければならず、手数料として1,500円がかかります。
新しいマイナンバーカードへ免許情報が引き継がれるのは、マイナンバーカードの更新をオンライン申請によって行い、免許情報記録番号を入力した場合のみです。
質問者さんの場合、オンライン申請をしていたとしても、免許情報記録番号を入力をしていませんので、免許情報が引き継がれません。
必ず、新しいマイナンバーカードでマイナ免許証にしてください。