「-2 mod 6」とか「4 mod 6」というものがあるという認識でしたか？
例えば「x ≡ -2 mod 6」と書かれているとき、それは「x」と「-2 mod 6」という二つのものが存在して互いに等しい、ということではありません。「x ≡ -2 mod 6」というのは「x ≡ -2」が成り立つという意味で、「mod 6」というのは「≡」の意味を補足する注釈なのです。なので、「x ≡ -2 mod 6」という式が「x ≡ 4 mod 6」に書き換えられたとき、起こっていることは「-2 mod 6」を「4 mod 6」に書き換えたというわけではなくて、「x ≡ -2」が成り立つなら「x ≡ 4」も成り立つ（ただし、「≡」の意味は「mod 6」ですよ）ということを言っているわけです。
もちろん「mod 6 の意味で a ≡ b」というのは、「aとbの差が6の倍数だ」ということなので、例えば
「… ≡ -12 ≡ -6 ≡ 0 ≡ 6 ≡ 12 ≡ 18 ≡ ･･･ （mod6）」ですし、
「… ≡ -13 ≡ -7 ≡ -1 ≡ 5 ≡ 11 ≡ 17 ≡ ･･･ （mod6）」ですし、
「… ≡ -14 ≡ -8 ≡ -2 ≡ 4 ≡ 10 ≡ 16 ≡ ･･･ （mod6）」ですし、
「… ≡ -15 ≡ -9 ≡ -3 ≡ 3 ≡ 9 ≡ 15 ≡ ･･･ （mod6）」などなどが成り立ちます。
これで例えば「x ≡ -2 mod 6」であるならそれは「x は -14, -8, -2, 4, 10, 16, などのうちのどれかである」ということで、そのとき「x ≡ 4 mod 6」であるともいえるわけです。「 -2 ≡ 4 mod 6」だからですね。
