サイゼリアさんで名札が制服と一緒に洗濯されてしまった場合、まず最初に直接店舗のスタッフやマネージャーにその状況をお伝えすることをお勧めします。多くの企業では、誤って壊れた業務用品に対してある程度の対応が設けられており、弁償や修理の可能性があります。
ただし、具体的な対応内容はサイゼリアさんのポリシーによります。また、お役に立つ可能性がありますが、自分の責任範囲内でできる範囲で対処することも大切です。例えば、名札が破損しただけであれば、可能であれば自分で新しい名札を作り直すことも一つの解決策となります。
最終的な対応は店舗に依頼し、その指示に従って対応するのが最良かと思います。店舗の方々はお客様や従業員のために柔軟に対応することが多いので、まずはお気軽にお尋ねください。