炎を噴き出すのはノズル近くにあるアフターバーナーの燃焼器から直接燃料を吹き込んでいるためで、機体の内部であの炎が発生しているわけではないから大丈夫です。燃えないようにはなっていますけど、やはりノズルは傷むので初期の戦闘機ではアフターバーナーの使用時間制限が設けられているものもありましたし、今でも真っ先に交換が必要になる部分ではあります。
ジェットエンジンそのものは原理的に旅客機のものと変わりません。吸い込んだ空気をタービンで思い切り圧縮して燃焼室へ送り込み、そこに燃料を吹き込んで燃やします。めっちゃ圧力が上がった排ガスで、後方の高圧タービンを駆動し前方にあるタービンに力を伝え、空気を吸わせると同時に後方へ排ガスを放出して推進力を得ますので、燃えているのは本当に小さな燃焼室の中でだけです。ここと後方の高圧タービンの羽根は高温になりますが、吸い込んだ空気から作られた圧縮空気の一部を取り出し、燃焼ガスが直接当たる場所に噴き出すようにすることで空気の断熱膜を作って部材が溶けないようにする工夫がしてあります。なので大丈夫です。
超余談ですが、ジェット機が火山灰に弱い理由がこれ
火山灰はガラス質の微粒子なのでジェットが吸い込むと上記した微細な冷却機構をふさいでしまうほか、溶けてタービンにベチョベチョ溶着してしまうんです。その結果、エンジンは焼損してしまいます。この場合は、本当に燃えちゃってます
