霞が関の官僚って設定でSNSやったら、軽犯罪法に触れるって誰かが言ってましたが、どの程度の罪になるのでしょうか？

ＳＮＳ自体は問題ではなく、犯罪にはなりません。

ただし、掲載された内容が職務上の秘密に当たる場合は、国家公務員法１００条１項前段「職員は、職務上知ることのできた秘密を漏らしてはならない。 」違反として、同法１０９条１２号に基づき「１年以下の拘禁刑（かつての懲役）又は５０万円以下の罰金に処する。」とされており、かつ、併せて懲戒処分としての免職、停職、減給又は戒告になります。