フォーマットを促される状態というのはすでにカード内の情報が破損し始めていることを検知したために初期化を求められている状態と解釈してください。
論理破損である場合がありますが、物理破損が原因で引き起こされる場合もすくなくありません。
破損程度がまだ浅い状態であればＰＣになれたかたは市販ソフトなどを活用して復元を試みることもできます。しかし破損原因によっては復元ソフトを使用することで完全に復元不能な状態に至らせてしまう場合もあるので、くれぐれもパソコンやスマホ等への接続は最小限にとどめるなど細心の注意が必要です。
操作などに不安な点があるようであれば以下のような個人向け価格の救出業者さんに相談するという手もありますのでご参考までに。
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